Was ist eine quadratische Funktion?
Eine quadratische Funktion hat die Form:
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
Das x² macht sie quadratisch — der Graph ist immer eine Parabel.
💡 Eine Parabel sieht aus wie ein U (wenn a > 0) oder ein umgekehrtes U (wenn a < 0).
Die Normalparabel
Die einfachste quadratische Funktion ist:
$$f(x) = x^2$$
- Scheitelpunkt: Der tiefste (oder höchste) Punkt → hier (0|0)
- Symmetrieachse: Die Parabel ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse
Was macht der Parameter a?
Die Scheitelpunktform
$$f(x) = a(x - d)^2 + e$$
Der Scheitelpunkt liegt bei S(d|e).
Beispiel: f(x) = 2(x - 3)² + 1
→ Scheitelpunkt bei (3|1), schmalere Parabel, öffnet nach oben
Nullstellen berechnen — Die p-q-Formel
Nullstellen sind die Stellen, wo die Parabel die x-Achse schneidet → f(x) = 0.
Bringe die Gleichung in die Form: x² + px + q = 0
Dann:
$$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$$
### Beispiel
x² - 6x + 8 = 0 → p = -6, q = 8
$$x_{1,2} = -\frac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 8}$$
$$x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 8} = 3 \pm 1$$
→ x₁ = 4, x₂ = 2 ✅
Die Diskriminante — Wie viele Nullstellen?
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D:
$$D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$$
📌 Keine Nullstelle bedeutet NICHT, dass die Funktion keine Werte hat — nur, dass sie die x-Achse nicht schneidet!
Von Normalform ↔ Scheitelpunktform
Normalform → Scheitelpunktform (Quadratische Ergänzung):
f(x) = x² - 6x + 8
1. Halbieren des Koeffizienten von x: -6/2 = -3
2. Quadrieren: (-3)² = 9
3. Ergänzen und subtrahieren:
f(x) = (x² - 6x + 9) - 9 + 8 = (x - 3)² - 1
→ Scheitelpunkt: (3|-1) ✅
Zusammenfassung
Quadratische Funktionen sind die Grundlage für alles, was danach kommt — Analysis, Physik (Wurfparabeln!), Technik. Üben lohnt sich! 🎯