Der Satz
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
a² + b² = c²
Dabei ist c die Hypotenuse — die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.
💡 Pythagoras von Samos (ca. 570–510 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker. Der Satz war allerdings schon den Babyloniern bekannt!
Warum funktioniert das?
Stell dir vor, du zeichnest über jeder Seite des Dreiecks ein Quadrat:
- Quadrat über Seite a: Fläche = a²
- Quadrat über Seite b: Fläche = b²
- Quadrat über Seite c: Fläche = c²
Die Flächen der beiden kleinen Quadrate zusammen sind genau so groß wie das große Quadrat!
Beispiel 1: Hypotenuse berechnen
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Wie lang ist c?
- a² + b² = c²
- 3² + 4² = c²
- 9 + 16 = c²
- 25 = c²
- c = 5 cm ✅
📌 3-4-5 ist das berühmteste pythagoreische Tripel!
Beispiel 2: Kathete berechnen
c = 13 cm, a = 5 cm. Wie lang ist b?
- a² + b² = c²
- 5² + b² = 13²
- 25 + b² = 169
- b² = 144
- b = 12 cm ✅
Alltagsanwendungen
- Leiter an der Wand: Wie hoch reicht eine 5m-Leiter, die 3m von der Wand steht?
- Diagonale eines Bildschirms: Breite und Höhe bekannt → Diagonale berechnen
- Navigation: Entfernung „Luftlinie" zwischen zwei Punkten
- Bauwesen: Rechte Winkel prüfen (3-4-5 Methode)
Pythagoreische Tripel
Das sind ganzzahlige Lösungen:
Wichtig!
Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Kein rechter Winkel? Dann brauchst du den Kosinussatz (das kommt später 😉).