Was ist ein Bruch?
Ein Bruch teilt etwas in gleich große Teile auf. Wenn du eine Pizza in 4 Stücke teilst und 3 davon isst, hast du ¾ der Pizza gegessen. 🍕
$$\frac{3}{4}$$
- Zähler (oben): Wie viele Teile du hast → 3
- Nenner (unten): In wie viele Teile wurde geteilt → 4
- Bruchstrich = Geteilt durch
💡 Ein Bruch ist also nichts anderes als eine Division: ¾ = 3 ÷ 4
Brüche kürzen — Einfacher machen
Kürzen = Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilen.
$$\frac{6}{8} = \frac{6 ÷ 2}{8 ÷ 2} = \frac{3}{4}$$
Tipp: Suche den größten gemeinsamen Teiler (ggT):
- ggT von 6 und 8 = 2 → durch 2 kürzen ✅
- 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler → vollständig gekürzt
Brüche erweitern — Gleichen Nenner herstellen
Erweitern = Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren.
$$\frac{3}{4} = \frac{3 × 3}{4 × 3} = \frac{9}{12}$$
Der Wert des Bruchs ändert sich beim Kürzen und Erweitern nie!
Brüche addieren und subtrahieren ➕➖
Regel: Nur Brüche mit gleichem Nenner können direkt addiert werden!
Gleicher Nenner — einfach:
$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$$
Verschiedene Nenner — erst erweitern:
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$
So findest du den gemeinsamen Nenner:
- Nenner multiplizieren: 3 × 4 = 12
- Oder das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) nehmen
Brüche multiplizieren ✖️
Super einfach: Zähler × Zähler und Nenner × Nenner!
$$\frac{2}{3} × \frac{4}{5} = \frac{2 × 4}{3 × 5} = \frac{8}{15}$$
📌 Tipp: Kreuz-Kürzen vor dem Multiplizieren spart Arbeit!
$$\frac{3}{8} × \frac{4}{9}$$ → 3 und 9 durch 3 kürzen, 4 und 8 durch 4 kürzen → $$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$
Brüche dividieren ➗
Regel: Mit dem Kehrwert multiplizieren! (Zähler und Nenner tauschen)
$$\frac{2}{3} ÷ \frac{4}{5} = \frac{2}{3} × \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$
Eselsbrücke: „Aus Division wird Multiplikation, der zweite Bruch steht Kopf."
Gemischte Zahlen
Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch:
$$2\frac{3}{4} = \frac{2 × 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$$
Umgekehrt: $$\frac{11}{4} = 11 ÷ 4 = 2 \text{ Rest } 3 = 2\frac{3}{4}$$
Zusammenfassung
Brüche sind die Grundlage für Prozentrechnung, Wahrscheinlichkeit und Algebra — wer sie beherrscht, hat es in Mathe viel leichter! 💪