Was ist eine lineare Gleichung?
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable (meistens x) nur in der 1. Potenz vorkommt — also kein x², kein x³.
Beispiel: 3x + 5 = 20
💡 „Linear" kommt von linea (Linie) — weil diese Gleichungen als Gerade im Koordinatensystem dargestellt werden.
Das Grundprinzip: Waage im Gleichgewicht ⚖️
Stell dir eine Gleichung als Waage vor:
- Links und rechts muss immer gleich viel sein
- Was du auf einer Seite machst, musst du auch auf der anderen tun
Das nennt man Äquivalenzumformungen.
Beispiel 1: Einfache Gleichung
3x + 5 = 20
Schritt 1: -5 auf beiden Seiten
- 3x + 5 - 5 = 20 - 5
- 3x = 15
Schritt 2: :3 auf beiden Seiten
- 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3
- x = 5 ✅
Probe: 3·5 + 5 = 15 + 5 = 20 ✓
Beispiel 2: Variable auf beiden Seiten
7x - 3 = 4x + 9
Schritt 1: -4x auf beiden Seiten
- 7x - 4x - 3 = 9
- 3x - 3 = 9
Schritt 2: +3 auf beiden Seiten
- 3x = 12
Schritt 3: :3
- x = 4 ✅
Beispiel 3: Klammern auflösen
2(x + 3) = 5x - 6
Schritt 1: Klammer auflösen
- 2x + 6 = 5x - 6
Schritt 2: -2x auf beiden Seiten
- 6 = 3x - 6
Schritt 3: +6
- 12 = 3x
Schritt 4: :3
- x = 4 ✅
Die goldenen Regeln
1. Ziel: x allein auf einer Seite
2. Immer beide Seiten gleich behandeln
3. Reihenfolge: Erst +/-, dann ·/÷
4. Probe machen — einsetzen und prüfen!
5. Klammern zuerst auflösen
📌 Übung macht den Meister — je mehr Gleichungen du löst, desto schneller wirst du!